f(t)=∫[1,-1]|x/(1+x^2)-t|dx 求f(t)

f(t)=∫[1,-1]|x/(1+x^2)-t|dx 求f(t)
积分上限是1,下限是-1,被积函数是|x/(1+x^2)-t|,求f(x)
这类题比较困绕我, 飒爽英姿33 1年前他留下的回答 已收到1个回答

rivaldo188 网友

该名网友总共回答了14个问题，此问答他的回答如下：采纳率：92.9%

带绝对值的要去掉绝对值,你可以用对t的分段讨论来达到这个目的,也就是要讨论t取什么值的时候,x/(1+x^2)-t大于0或是小于0
先研究x/(1+x^2)的范围,令g（x）=x/(1+x^2),对其求导,发现是单调递增函数,那么在【-1,1】上的取值范围就是[g(-1),g(1)]也就是[-0.5,0.5]
可以将t分为三段
1、t≥0.5
2、t≤-0.5
3、-0.5＜t＜0.5
对1来说,绝对值可以直接去,积分变为t-x/(1+x^2),积分结果为f(t)=2t
同理,对2来说,绝对值去掉后,积分变为x/(1+x^2)-t,积分结果为f(t)=-2t
对3来说,x/(1+x^2)-t可能大于0或者小于0,它的正负性直接决定了绝对值该怎么去掉.所以你可以令x/(1+x^2)-t=0,解出来x的值：
x=(1±(1-4t^2)^0.5)/(2t)
由于积分区间是[-1,1],所以我们舍掉正的值.为了方便书写,设：
a=(1-(1-4t^2)^0.5)/(2t)
那么f(t)=从-1到a积分（t-x/(1+x^2)）+从a到1积分（x/(1+x^2)-t）
这个你可以自己算下~
最后把这3种情况整合下,可以得到分段函数f(t)的解

1年前他留下的回答

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